Fórmulas de transformación bidimensional

Las transformaciones bidimensionales son operaciones que se aplican a puntos, líneas o figuras en un plano bidimensional, como un plano cartesiano (x, y). Estas transformaciones son comunes en gráficos por computadora, procesamiento de imágenes y geometría. 

Traslación:

La traslación es una transformación bidimensional que desplaza un objeto en un plano bidimensional (como un plano cartesiano) a lo largo de ejes x e y. Esta transformación se utiliza para mover figuras geométricas de un lugar a otro. La fórmula general para la traslación es la siguiente:

Dado un punto original (x, y) y un vector de traslación (dx, dy), la nueva posición del punto tras la traslación será (x', y'), donde:

x' = x + dx

y' = y + dy

En esta fórmula, (x, y) es la posición original del punto, y (dx, dy) es el vector de traslación que indica cuánto se debe mover el punto en las direcciones x e y. La nueva posición del punto tras la traslación se calcula sumando los componentes del vector de traslación a las coordenadas originales del punto.

Escala:

La escala es una transformación bidimensional que modifica el tamaño de un objeto en un plano bidimensional, ya sea aumentándolo (escala mayor) o reduciéndolo (escala menor) en relación con un punto fijo conocido como centro de escala. Aquí tienes las fórmulas generales para la escala:

Dado un punto original (x, y), un centro de escala (Cx, Cy), y los factores de escala (Sx, Sy), la nueva posición del punto después de la escala será (x', y'), donde:

x' = Cx + (x - Cx) * Sx

y' = Cy + (y - Cy) * Sy

En estas fórmulas:

(x, y) son las coordenadas originales del punto que deseas escalar.

(Cx, Cy) es el centro de escala alrededor del cual se realizará la transformación.

(Sx, Sy) son los factores de escala. Si Sx y Sy son mayores que 1, se produce una escala mayor; si son menores que 1, se produce una escala menor. 

Rotación.

La rotación es una transformación bidimensional que gira un objeto alrededor de un punto fijo conocido como el centro de rotación. La fórmula general para la rotación en un plano bidimensional es la siguiente:

Dado un punto original (x, y), un centro de rotación (Cx, Cy), y un ángulo de rotación θ (en radianes), la nueva posición del punto después de la rotación será (x', y'), donde:

x' = Cx + (x - Cx) * cos(θ) - (y - Cy) * sin(θ)

y' = Cy + (x - Cx) * sin(θ) + (y - Cy) * cos(θ)

En estas fórmulas:

(x, y) son las coordenadas originales del punto que deseas rotar.

(Cx, Cy) es el centro de rotación alrededor del cual se realizará la rotación.

θ es el ángulo de rotación en radianes. Una rotación en sentido antihorario es positiva, y una rotación en sentido horario es negativa.

Reflexión. 

La reflexión es una transformación bidimensional que invierte un objeto o figura a lo largo de un eje, ya sea horizontal, vertical o a lo largo de una línea inclinada. Aquí tienes las fórmulas generales para las reflexiones en los ejes horizontal y vertical:

 

Reflexión horizontal (también conocida como reflexión en el eje x):

Dado un punto original (x, y), la nueva posición del punto después de la reflexión horizontal será (x', y'), donde:

x' = x

y' = -y

Reflexión vertical (también conocida como reflexión en el eje y):

Dado un punto original (x, y), la nueva posición del punto después de la reflexión vertical será (x', y'), donde:

x' = -x

y' = y

Estas fórmulas reflejarán el punto original a lo largo del eje horizontal o vertical, invirtiendo sus coordenadas en la dirección correspondiente.

Si deseas realizar una reflexión en una línea inclinada, primero debes encontrar la ecuación de esa línea y luego aplicar una combinación de reflexiones en los ejes para lograr la reflexión deseada.

Por ejemplo, si tienes un punto A(2, 3) y deseas realizar una reflexión horizontal, la nueva posición del punto A' después de la reflexión será:

x' = 2 (sin cambios)

y' = -3 (inversión de la coordenada y)

Por lo tanto, el punto A' después de la reflexión horizontal será (2, -3).

Cizallamiento.

El cizallamiento es una transformación bidimensional que deforma un objeto estirándolo en una dirección particular, manteniendo fija la dirección perpendicular. Existen dos tipos principales de cizallamiento: el cizallamiento horizontal y el cizallamiento vertical. Aquí están las fórmulas generales para ambos tipos:

Cizallamiento horizontal:

Dado un punto original (x, y) y un factor de cizallamiento k, la nueva posición del punto después de un cizallamiento horizontal será (x', y'), donde:

x' = x + k * y

y' = y (sin cambios)

Cizallamiento vertical:

Dado un punto original (x, y) y un factor de cizallamiento k, la nueva posición del punto después de un cizallamiento vertical será (x', y'), donde:

x' = x (sin cambios)

y' = y + k * x

En estas fórmulas, (x, y) son las coordenadas originales del punto que deseas cizallar, y "k" es el factor de cizallamiento que determina la cantidad de deformación en la dirección especificada.

Por ejemplo, si tienes un punto A(2, 3) y deseas aplicar un cizallamiento horizontal con un factor de cizallamiento k = 2, la nueva posición del punto A' después del cizallamiento será:

x' = 2 + 2 * 3 = 2 + 6 = 8

y' = 3 (sin cambios)

Por lo tanto, el punto A' después del cizallamiento horizontal será (8, 3).

Para el cizallamiento vertical, si tienes el mismo punto A(2, 3) y deseas aplicar un cizallamiento vertical con k = 1.5, la nueva posición del punto A' será:

x' = 2 (sin cambios)

y' = 3 + 1.5 * 2 = 3 + 3 = 6

Entonces, el punto A' después del cizallamiento vertical será (2, 6).